\(\int \frac {(A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx\) [999]

Optimal result

Integrand size = 41, antiderivative size = 339 \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=-\frac {\left (15 a^2 A b^4-6 A b^6+6 a^5 b B-5 a^3 b^3 B+2 a b^5 B-2 a^6 C-a^4 b^2 (12 A+C)\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^4 (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2} d}-\frac {(3 A b-a B) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^4 d}-\frac {\left (11 a^2 A b^2-6 A b^4-5 a^3 b B+2 a b^3 B-a^4 (2 A-3 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (3 A b^4+4 a^3 b B-a b^3 B-2 a^4 C-a^2 b^2 (6 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))} \]

[Out]

-(15*a^2*A*b^4-6*A*b^6+6*B*a^5*b-5*B*a^3*b^3+2*B*a*b^5-2*a^6*C-a^4*b^2*(12*A+C))*arctan((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*
x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/a^4/(a-b)^(5/2)/(a+b)^(5/2)/d-(3*A*b-B*a)*arctanh(sin(d*x+c))/a^4/d-1/2*(11*A*a^2*b^2-6*
A*b^4-5*B*a^3*b+2*B*a*b^3-a^4*(2*A-3*C))*tan(d*x+c)/a^3/(a^2-b^2)^2/d+1/2*(A*b^2-a*(B*b-C*a))*tan(d*x+c)/a/(a^
2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+c))^2-1/2*(3*A*b^4+4*B*a^3*b-B*a*b^3-2*a^4*C-a^2*b^2*(6*A+C))*tan(d*x+c)/a^2/(a^2-b^2)^2
/d/(a+b*cos(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 3.58 (sec) , antiderivative size = 339, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 5, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.122, Rules used = {3134, 3080, 3855, 2738, 211} \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=-\frac {(3 A b-a B) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^4 d}+\frac {\tan (c+d x) \left (A b^2-a (b B-a C)\right )}{2 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\tan (c+d x) \left (-\left (a^4 (2 A-3 C)\right )-5 a^3 b B+11 a^2 A b^2+2 a b^3 B-6 A b^4\right )}{2 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac {\tan (c+d x) \left (-2 a^4 C+4 a^3 b B-a^2 b^2 (6 A+C)-a b^3 B+3 A b^4\right )}{2 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (-2 a^6 C+6 a^5 b B-a^4 b^2 (12 A+C)-5 a^3 b^3 B+15 a^2 A b^4+2 a b^5 B-6 A b^6\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^4 d (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2}} \]

[In]

Int[((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

-(((15*a^2*A*b^4 - 6*A*b^6 + 6*a^5*b*B - 5*a^3*b^3*B + 2*a*b^5*B - 2*a^6*C - a^4*b^2*(12*A + C))*ArcTan[(Sqrt[
a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/(a^4*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) - ((3*A*b - a*B)*ArcTanh[Sin[c + d
*x]])/(a^4*d) - ((11*a^2*A*b^2 - 6*A*b^4 - 5*a^3*b*B + 2*a*b^3*B - a^4*(2*A - 3*C))*Tan[c + d*x])/(2*a^3*(a^2
- b^2)^2*d) + ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((3*A*b^4 +
4*a^3*b*B - a*b^3*B - 2*a^4*C - a^2*b^2*(6*A + C))*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x]))

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3080

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] + Dist[(B*c - A
*d)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 3134

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B + a^2*C))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + D
ist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(m + 1)*
(b*c - a*d)*(a*A - b*B + a*C) + d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C) + (m + 1)*(
b*c - a*d)*(A*b - a*B + b*C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&
LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n]
&&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3855

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {\left (-3 A b^2+a b B+a^2 (2 A-C)-2 a (A b-a B+b C) \cos (c+d x)+2 \left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{2 a \left (a^2-b^2\right )} \\ & = \frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (3 A b^4+4 a^3 b B-a b^3 B-2 a^4 C-a^2 b^2 (6 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (-11 a^2 A b^2+6 A b^4+5 a^3 b B-2 a b^3 B+a^4 (2 A-3 C)+a \left (A b^3+2 a^3 B+a b^2 B-a^2 b (4 A+3 C)\right ) \cos (c+d x)-\left (3 A b^4+4 a^3 b B-a b^3 B-2 a^4 C-a^2 b^2 (6 A+C)\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {\left (11 a^2 A b^2-6 A b^4-5 a^3 b B+2 a b^3 B-a^4 (2 A-3 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (3 A b^4+4 a^3 b B-a b^3 B-2 a^4 C-a^2 b^2 (6 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (-2 \left (a^2-b^2\right )^2 (3 A b-a B)-a \left (3 A b^4+4 a^3 b B-a b^3 B-2 a^4 C-a^2 b^2 (6 A+C)\right ) \cos (c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {\left (11 a^2 A b^2-6 A b^4-5 a^3 b B+2 a b^3 B-a^4 (2 A-3 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (3 A b^4+4 a^3 b B-a b^3 B-2 a^4 C-a^2 b^2 (6 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {(3 A b-a B) \int \sec (c+d x) \, dx}{a^4}-\frac {\left (15 a^2 A b^4-6 A b^6+6 a^5 b B-5 a^3 b^3 B+2 a b^5 B-2 a^6 C-a^4 b^2 (12 A+C)\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {(3 A b-a B) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^4 d}-\frac {\left (11 a^2 A b^2-6 A b^4-5 a^3 b B+2 a b^3 B-a^4 (2 A-3 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (3 A b^4+4 a^3 b B-a b^3 B-2 a^4 C-a^2 b^2 (6 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (15 a^2 A b^4-6 A b^6+6 a^5 b B-5 a^3 b^3 B+2 a b^5 B-2 a^6 C-a^4 b^2 (12 A+C)\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d} \\ & = \frac {\left (12 a^4 A b^2-15 a^2 A b^4+6 A b^6-6 a^5 b B+5 a^3 b^3 B-2 a b^5 B+2 a^6 C+a^4 b^2 C\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^4 (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2} d}-\frac {(3 A b-a B) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{a^4 d}-\frac {\left (11 a^2 A b^2-6 A b^4-5 a^3 b B+2 a b^3 B-a^4 (2 A-3 C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (3 A b^4+4 a^3 b B-a b^3 B-2 a^4 C-a^2 b^2 (6 A+C)\right ) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (warning: unable to verify)

Time = 4.56 (sec) , antiderivative size = 444, normalized size of antiderivative = 1.31 \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\frac {\cos (c+d x) \left (C+B \sec (c+d x)+A \sec ^2(c+d x)\right ) \left (-\frac {8 \left (-15 a^2 A b^4+6 A b^6-6 a^5 b B+5 a^3 b^3 B-2 a b^5 B+2 a^6 C+a^4 b^2 (12 A+C)\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {-a^2+b^2}}\right ) \cos (c+d x)}{\left (-a^2+b^2\right )^{5/2}}+8 (3 A b-a B) \cos (c+d x) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+8 (-3 A b+a B) \cos (c+d x) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+\frac {2 a \left (4 a^6 A-6 a^4 A b^2-7 a^2 A b^4+6 A b^6+5 a^3 b^3 B-2 a b^5 B-3 a^4 b^2 C+2 a b \left (9 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B+4 a^4 (A-C)+a^2 b^2 (-16 A+C)\right ) \cos (c+d x)+b^2 \left (-11 a^2 A b^2+6 A b^4+5 a^3 b B-2 a b^3 B+a^4 (2 A-3 C)\right ) \cos (2 (c+d x))\right ) \sin (c+d x)}{\left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))^2}\right )}{4 a^4 d (2 A+C+2 B \cos (c+d x)+C \cos (2 (c+d x)))} \]

[In]

Integrate[((A + B*Cos[c + d*x] + C*Cos[c + d*x]^2)*Sec[c + d*x]^2)/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

(Cos[c + d*x]*(C + B*Sec[c + d*x] + A*Sec[c + d*x]^2)*((-8*(-15*a^2*A*b^4 + 6*A*b^6 - 6*a^5*b*B + 5*a^3*b^3*B
- 2*a*b^5*B + 2*a^6*C + a^4*b^2*(12*A + C))*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]*Cos[c + d*x])
/(-a^2 + b^2)^(5/2) + 8*(3*A*b - a*B)*Cos[c + d*x]*Log[Cos[(c + d*x)/2] - Sin[(c + d*x)/2]] + 8*(-3*A*b + a*B)
*Cos[c + d*x]*Log[Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c + d*x)/2]] + (2*a*(4*a^6*A - 6*a^4*A*b^2 - 7*a^2*A*b^4 + 6*A*b^6 +
5*a^3*b^3*B - 2*a*b^5*B - 3*a^4*b^2*C + 2*a*b*(9*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 3*a*b^3*B + 4*a^4*(A - C) + a^2*b^2*(-16
*A + C))*Cos[c + d*x] + b^2*(-11*a^2*A*b^2 + 6*A*b^4 + 5*a^3*b*B - 2*a*b^3*B + a^4*(2*A - 3*C))*Cos[2*(c + d*x
)])*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*(a + b*Cos[c + d*x])^2)))/(4*a^4*d*(2*A + C + 2*B*Cos[c + d*x] + C*Cos[2*(c +
d*x)]))

Maple [A] (verified)

Time = 1.12 (sec) , antiderivative size = 427, normalized size of antiderivative = 1.26

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {\frac {2 \left (-\frac {\left (8 A \,a^{2} b^{2}+a A \,b^{3}-4 A \,b^{4}-6 B \,a^{3} b -B \,a^{2} b^{2}+2 B a \,b^{3}+4 a^{4} C +a^{3} b C \right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}-\frac {b a \left (8 A \,a^{2} b^{2}-a A \,b^{3}-4 A \,b^{4}-6 B \,a^{3} b +B \,a^{2} b^{2}+2 B a \,b^{3}+4 a^{4} C -a^{3} b C \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}\right )}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) b +a +b \right )}^{2}}+\frac {\left (12 A \,a^{4} b^{2}-15 a^{2} A \,b^{4}+6 A \,b^{6}-6 B \,a^{5} b +5 B \,a^{3} b^{3}-2 B a \,b^{5}+2 a^{6} C +a^{4} b^{2} C \right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{\left (a^{4}-2 b^{2} a^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}}{a^{4}}-\frac {A}{a^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}+\frac {\left (-3 A b +B a \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{a^{4}}-\frac {A}{a^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {\left (3 A b -B a \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{a^{4}}}{d}\)	\(427\)
default	\(\frac {\frac {\frac {2 \left (-\frac {\left (8 A \,a^{2} b^{2}+a A \,b^{3}-4 A \,b^{4}-6 B \,a^{3} b -B \,a^{2} b^{2}+2 B a \,b^{3}+4 a^{4} C +a^{3} b C \right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}-\frac {b a \left (8 A \,a^{2} b^{2}-a A \,b^{3}-4 A \,b^{4}-6 B \,a^{3} b +B \,a^{2} b^{2}+2 B a \,b^{3}+4 a^{4} C -a^{3} b C \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}\right )}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) b +a +b \right )}^{2}}+\frac {\left (12 A \,a^{4} b^{2}-15 a^{2} A \,b^{4}+6 A \,b^{6}-6 B \,a^{5} b +5 B \,a^{3} b^{3}-2 B a \,b^{5}+2 a^{6} C +a^{4} b^{2} C \right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{\left (a^{4}-2 b^{2} a^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}}{a^{4}}-\frac {A}{a^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}+\frac {\left (-3 A b +B a \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{a^{4}}-\frac {A}{a^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {\left (3 A b -B a \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{a^{4}}}{d}\)	\(427\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(2188\)

[In]

int((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(2/a^4*((-1/2*(8*A*a^2*b^2+A*a*b^3-4*A*b^4-6*B*a^3*b-B*a^2*b^2+2*B*a*b^3+4*C*a^4+C*a^3*b)*a*b/(a-b)/(a^2+2
*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3-1/2*b*a*(8*A*a^2*b^2-A*a*b^3-4*A*b^4-6*B*a^3*b+B*a^2*b^2+2*B*a*b^3+4*C*a^4-C*a^
3*b)/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+a+b)^2+1/2*(12*A*a^4*b^2
-15*A*a^2*b^4+6*A*b^6-6*B*a^5*b+5*B*a^3*b^3-2*B*a*b^5+2*C*a^6+C*a^4*b^2)/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)*(a+b))^(1/
2)*arctan((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))^(1/2)))-A/a^3/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)+1/a^4*(-3*A*b+B*a)*ln(ta
n(1/2*d*x+1/2*c)+1)-A/a^3/(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1)+(3*A*b-B*a)/a^4*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1071 vs. \(2 (316) = 632\).

Time = 68.11 (sec) , antiderivative size = 2213, normalized size of antiderivative = 6.53 \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/4*(((2*C*a^6*b^2 - 6*B*a^5*b^3 + (12*A + C)*a^4*b^4 + 5*B*a^3*b^5 - 15*A*a^2*b^6 - 2*B*a*b^7 + 6*A*b^8)*co
s(d*x + c)^3 + 2*(2*C*a^7*b - 6*B*a^6*b^2 + (12*A + C)*a^5*b^3 + 5*B*a^4*b^4 - 15*A*a^3*b^5 - 2*B*a^2*b^6 + 6*
A*a*b^7)*cos(d*x + c)^2 + (2*C*a^8 - 6*B*a^7*b + (12*A + C)*a^6*b^2 + 5*B*a^5*b^3 - 15*A*a^4*b^4 - 2*B*a^3*b^5
+ 6*A*a^2*b^6)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) + (2*a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 + 2*sqrt
(-a^2 + b^2)*(a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x + c) - a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d*x + c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + a^2))
- 2*((B*a^7*b^2 - 3*A*a^6*b^3 - 3*B*a^5*b^4 + 9*A*a^4*b^5 + 3*B*a^3*b^6 - 9*A*a^2*b^7 - B*a*b^8 + 3*A*b^9)*co
s(d*x + c)^3 + 2*(B*a^8*b - 3*A*a^7*b^2 - 3*B*a^6*b^3 + 9*A*a^5*b^4 + 3*B*a^4*b^5 - 9*A*a^3*b^6 - B*a^2*b^7 +
3*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^2 + (B*a^9 - 3*A*a^8*b - 3*B*a^7*b^2 + 9*A*a^6*b^3 + 3*B*a^5*b^4 - 9*A*a^4*b^5 - B*a^3
*b^6 + 3*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c))*log(sin(d*x + c) + 1) + 2*((B*a^7*b^2 - 3*A*a^6*b^3 - 3*B*a^5*b^4 + 9*A*a^4*
b^5 + 3*B*a^3*b^6 - 9*A*a^2*b^7 - B*a*b^8 + 3*A*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 2*(B*a^8*b - 3*A*a^7*b^2 - 3*B*a^6*b^3 +
9*A*a^5*b^4 + 3*B*a^4*b^5 - 9*A*a^3*b^6 - B*a^2*b^7 + 3*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^2 + (B*a^9 - 3*A*a^8*b - 3*B*a^
7*b^2 + 9*A*a^6*b^3 + 3*B*a^5*b^4 - 9*A*a^4*b^5 - B*a^3*b^6 + 3*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c))*log(-sin(d*x + c) + 1
) - 2*(2*A*a^9 - 6*A*a^7*b^2 + 6*A*a^5*b^4 - 2*A*a^3*b^6 + ((2*A - 3*C)*a^7*b^2 + 5*B*a^6*b^3 - (13*A - 3*C)*a
^5*b^4 - 7*B*a^4*b^5 + 17*A*a^3*b^6 + 2*B*a^2*b^7 - 6*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^2 + (4*(A - C)*a^8*b + 6*B*a^7*b^2
- 5*(4*A - C)*a^6*b^3 - 9*B*a^5*b^4 + (25*A - C)*a^4*b^5 + 3*B*a^3*b^6 - 9*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c))*sin(d*x +
c))/((a^10*b^2 - 3*a^8*b^4 + 3*a^6*b^6 - a^4*b^8)*d*cos(d*x + c)^3 + 2*(a^11*b - 3*a^9*b^3 + 3*a^7*b^5 - a^5*
b^7)*d*cos(d*x + c)^2 + (a^12 - 3*a^10*b^2 + 3*a^8*b^4 - a^6*b^6)*d*cos(d*x + c)), 1/2*(((2*C*a^6*b^2 - 6*B*a^
5*b^3 + (12*A + C)*a^4*b^4 + 5*B*a^3*b^5 - 15*A*a^2*b^6 - 2*B*a*b^7 + 6*A*b^8)*cos(d*x + c)^3 + 2*(2*C*a^7*b -
6*B*a^6*b^2 + (12*A + C)*a^5*b^3 + 5*B*a^4*b^4 - 15*A*a^3*b^5 - 2*B*a^2*b^6 + 6*A*a*b^7)*cos(d*x + c)^2 + (2*
C*a^8 - 6*B*a^7*b + (12*A + C)*a^6*b^2 + 5*B*a^5*b^3 - 15*A*a^4*b^4 - 2*B*a^3*b^5 + 6*A*a^2*b^6)*cos(d*x + c))
*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)/(sqrt(a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) + ((B*a^7*b^2 - 3*A*a^6*b^3 - 3*
B*a^5*b^4 + 9*A*a^4*b^5 + 3*B*a^3*b^6 - 9*A*a^2*b^7 - B*a*b^8 + 3*A*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 2*(B*a^8*b - 3*A*a^7
*b^2 - 3*B*a^6*b^3 + 9*A*a^5*b^4 + 3*B*a^4*b^5 - 9*A*a^3*b^6 - B*a^2*b^7 + 3*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^2 + (B*a^9
- 3*A*a^8*b - 3*B*a^7*b^2 + 9*A*a^6*b^3 + 3*B*a^5*b^4 - 9*A*a^4*b^5 - B*a^3*b^6 + 3*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c))*l
og(sin(d*x + c) + 1) - ((B*a^7*b^2 - 3*A*a^6*b^3 - 3*B*a^5*b^4 + 9*A*a^4*b^5 + 3*B*a^3*b^6 - 9*A*a^2*b^7 - B*a
*b^8 + 3*A*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 2*(B*a^8*b - 3*A*a^7*b^2 - 3*B*a^6*b^3 + 9*A*a^5*b^4 + 3*B*a^4*b^5 - 9*A*a^3*
b^6 - B*a^2*b^7 + 3*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^2 + (B*a^9 - 3*A*a^8*b - 3*B*a^7*b^2 + 9*A*a^6*b^3 + 3*B*a^5*b^4 - 9
*A*a^4*b^5 - B*a^3*b^6 + 3*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c))*log(-sin(d*x + c) + 1) + (2*A*a^9 - 6*A*a^7*b^2 + 6*A*a^5*
b^4 - 2*A*a^3*b^6 + ((2*A - 3*C)*a^7*b^2 + 5*B*a^6*b^3 - (13*A - 3*C)*a^5*b^4 - 7*B*a^4*b^5 + 17*A*a^3*b^6 + 2
*B*a^2*b^7 - 6*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^2 + (4*(A - C)*a^8*b + 6*B*a^7*b^2 - 5*(4*A - C)*a^6*b^3 - 9*B*a^5*b^4 +
(25*A - C)*a^4*b^5 + 3*B*a^3*b^6 - 9*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^10*b^2 - 3*a^8*b^4 + 3*a^6*b^6
- a^4*b^8)*d*cos(d*x + c)^3 + 2*(a^11*b - 3*a^9*b^3 + 3*a^7*b^5 - a^5*b^7)*d*cos(d*x + c)^2 + (a^12 - 3*a^10*
b^2 + 3*a^8*b^4 - a^6*b^6)*d*cos(d*x + c))]

Sympy [F]

\[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\int \frac {\left (A + B \cos {\left (c + d x \right )} + C \cos ^{2}{\left (c + d x \right )}\right ) \sec ^{2}{\left (c + d x \right )}}{\left (a + b \cos {\left (c + d x \right )}\right )^{3}}\, dx \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)**2)*sec(d*x+c)**2/(a+b*cos(d*x+c))**3,x)

[Out]

Integral((A + B*cos(c + d*x) + C*cos(c + d*x)**2)*sec(c + d*x)**2/(a + b*cos(c + d*x))**3, x)

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 699 vs. \(2 (316) = 632\).

Time = 0.41 (sec) , antiderivative size = 699, normalized size of antiderivative = 2.06 \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=-\frac {\frac {{\left (2 \, C a^{6} - 6 \, B a^{5} b + 12 \, A a^{4} b^{2} + C a^{4} b^{2} + 5 \, B a^{3} b^{3} - 15 \, A a^{2} b^{4} - 2 \, B a b^{5} + 6 \, A b^{6}\right )} {\left (\pi \left \lfloor \frac {d x + c}{2 \, \pi } + \frac {1}{2} \right \rfloor \mathrm {sgn}\left (-2 \, a + 2 \, b\right ) + \arctan \left (-\frac {a \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )}{\sqrt {a^{2} - b^{2}}}\right )\right )}}{{\left (a^{8} - 2 \, a^{6} b^{2} + a^{4} b^{4}\right )} \sqrt {a^{2} - b^{2}}} + \frac {4 \, C a^{5} b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - 6 \, B a^{4} b^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - 3 \, C a^{4} b^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 8 \, A a^{3} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 5 \, B a^{3} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - C a^{3} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - 7 \, A a^{2} b^{4} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 3 \, B a^{2} b^{4} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - 5 \, A a b^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - 2 \, B a b^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 4 \, A b^{6} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 4 \, C a^{5} b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 6 \, B a^{4} b^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + 3 \, C a^{4} b^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + 8 \, A a^{3} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 5 \, B a^{3} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - C a^{3} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + 7 \, A a^{2} b^{4} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + 3 \, B a^{2} b^{4} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 5 \, A a b^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + 2 \, B a b^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 4 \, A b^{6} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )}{{\left (a^{7} - 2 \, a^{5} b^{2} + a^{3} b^{4}\right )} {\left (a \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} - b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} + a + b\right )}^{2}} - \frac {{\left (B a - 3 \, A b\right )} \log \left ({\left | \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + 1 \right |}\right )}{a^{4}} + \frac {{\left (B a - 3 \, A b\right )} \log \left ({\left | \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 1 \right |}\right )}{a^{4}} + \frac {2 \, A \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )}{{\left (\tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} - 1\right )} a^{3}}}{d} \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c)+C*cos(d*x+c)^2)*sec(d*x+c)^2/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-((2*C*a^6 - 6*B*a^5*b + 12*A*a^4*b^2 + C*a^4*b^2 + 5*B*a^3*b^3 - 15*A*a^2*b^4 - 2*B*a*b^5 + 6*A*b^6)*(pi*floo
r(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arctan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/sqrt(a^2
- b^2)))/((a^8 - 2*a^6*b^2 + a^4*b^4)*sqrt(a^2 - b^2)) + (4*C*a^5*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 6*B*a^4*b^2*tan(
1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 3*C*a^4*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 8*A*a^3*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 5*B*a^3*b^3*tan
(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - C*a^3*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 7*A*a^2*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 3*B*a^2*b^4*tan(
1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 5*A*a*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 2*B*a*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 4*A*b^6*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c)^3 + 4*C*a^5*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*B*a^4*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 3*C*a^4*b^2*tan(1/2*d*x + 1/
2*c) + 8*A*a^3*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 5*B*a^3*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - C*a^3*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) +
7*A*a^2*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 3*B*a^2*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 5*A*a*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 2*B*a*b
^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 4*A*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^7 - 2*a^5*b^2 + a^3*b^4)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2
- b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + a + b)^2) - (B*a - 3*A*b)*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 1))/a^4 + (B*a - 3*A*b)
*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 1))/a^4 + 2*A*tan(1/2*d*x + 1/2*c)/((tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - 1)*a^3))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 14.85 (sec) , antiderivative size = 11417, normalized size of antiderivative = 33.68 \[ \int \frac {\left (A+B \cos (c+d x)+C \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((A + B*cos(c + d*x) + C*cos(c + d*x)^2)/(cos(c + d*x)^2*(a + b*cos(c + d*x))^3),x)

[Out]

(atan((((3*A*b - B*a)*(((3*A*b - B*a)*((8*(4*B*a^18 + 4*C*a^18 + 12*A*a^8*b^10 - 6*A*a^9*b^9 - 54*A*a^10*b^8 +
24*A*a^11*b^7 + 96*A*a^12*b^6 - 42*A*a^13*b^5 - 78*A*a^14*b^4 + 36*A*a^15*b^3 + 24*A*a^16*b^2 - 4*B*a^9*b^9 +
2*B*a^10*b^8 + 18*B*a^11*b^7 - 4*B*a^12*b^6 - 36*B*a^13*b^5 + 6*B*a^14*b^4 + 34*B*a^15*b^3 - 8*B*a^16*b^2 - 2
*C*a^11*b^7 + 2*C*a^12*b^6 + 6*C*a^15*b^3 - 6*C*a^16*b^2 - 12*A*a^17*b - 12*B*a^17*b - 4*C*a^17*b))/(a^15*b +
a^16 - a^9*b^7 - a^10*b^6 + 3*a^11*b^5 + 3*a^12*b^4 - 3*a^13*b^3 - 3*a^14*b^2) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(3*A*b
- B*a)*(8*a^17*b - 8*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 + 32*a^10*b^8 - 32*a^11*b^7 - 48*a^12*b^6 + 48*a^13*b^5 + 32*a^14*b^
4 - 32*a^15*b^3 - 8*a^16*b^2))/(a^4*(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*a^10*b^3 -
3*a^11*b^2))))/a^4 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(72*A^2*b^12 + 4*B^2*a^12 + 4*C^2*a^12 - 72*A^2*a*b^11 - 8*B^2*a^11
*b - 288*A^2*a^2*b^10 + 288*A^2*a^3*b^9 + 441*A^2*a^4*b^8 - 432*A^2*a^5*b^7 - 288*A^2*a^6*b^6 + 288*A^2*a^7*b^
5 + 36*A^2*a^8*b^4 - 72*A^2*a^9*b^3 + 36*A^2*a^10*b^2 + 8*B^2*a^2*b^10 - 8*B^2*a^3*b^9 - 32*B^2*a^4*b^8 + 32*B
^2*a^5*b^7 + 57*B^2*a^6*b^6 - 48*B^2*a^7*b^5 - 52*B^2*a^8*b^4 + 32*B^2*a^9*b^3 + 24*B^2*a^10*b^2 + C^2*a^8*b^4
+ 4*C^2*a^10*b^2 - 48*A*B*a*b^11 - 24*A*B*a^11*b - 24*B*C*a^11*b + 48*A*B*a^2*b^10 + 192*A*B*a^3*b^9 - 192*A*
B*a^4*b^8 - 318*A*B*a^5*b^7 + 288*A*B*a^6*b^6 + 252*A*B*a^7*b^5 - 192*A*B*a^8*b^4 - 72*A*B*a^9*b^3 + 48*A*B*a^
10*b^2 + 12*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 - 36*A*C*a^8*b^4 + 48*A*C*a^10*b^2 - 4*B*C*a^5*b^7 + 2*B*C*a^7*b^5 + 8
*B*C*a^9*b^3))/(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*a^10*b^3 - 3*a^11*b^2))*1i)/a^4
- ((3*A*b - B*a)*(((3*A*b - B*a)*((8*(4*B*a^18 + 4*C*a^18 + 12*A*a^8*b^10 - 6*A*a^9*b^9 - 54*A*a^10*b^8 + 24*A
*a^11*b^7 + 96*A*a^12*b^6 - 42*A*a^13*b^5 - 78*A*a^14*b^4 + 36*A*a^15*b^3 + 24*A*a^16*b^2 - 4*B*a^9*b^9 + 2*B*
a^10*b^8 + 18*B*a^11*b^7 - 4*B*a^12*b^6 - 36*B*a^13*b^5 + 6*B*a^14*b^4 + 34*B*a^15*b^3 - 8*B*a^16*b^2 - 2*C*a^
11*b^7 + 2*C*a^12*b^6 + 6*C*a^15*b^3 - 6*C*a^16*b^2 - 12*A*a^17*b - 12*B*a^17*b - 4*C*a^17*b))/(a^15*b + a^16
- a^9*b^7 - a^10*b^6 + 3*a^11*b^5 + 3*a^12*b^4 - 3*a^13*b^3 - 3*a^14*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(3*A*b - B*a
)*(8*a^17*b - 8*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 + 32*a^10*b^8 - 32*a^11*b^7 - 48*a^12*b^6 + 48*a^13*b^5 + 32*a^14*b^4 - 3
2*a^15*b^3 - 8*a^16*b^2))/(a^4*(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*a^10*b^3 - 3*a^1
1*b^2))))/a^4 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(72*A^2*b^12 + 4*B^2*a^12 + 4*C^2*a^12 - 72*A^2*a*b^11 - 8*B^2*a^11*b -
288*A^2*a^2*b^10 + 288*A^2*a^3*b^9 + 441*A^2*a^4*b^8 - 432*A^2*a^5*b^7 - 288*A^2*a^6*b^6 + 288*A^2*a^7*b^5 + 3
6*A^2*a^8*b^4 - 72*A^2*a^9*b^3 + 36*A^2*a^10*b^2 + 8*B^2*a^2*b^10 - 8*B^2*a^3*b^9 - 32*B^2*a^4*b^8 + 32*B^2*a^
5*b^7 + 57*B^2*a^6*b^6 - 48*B^2*a^7*b^5 - 52*B^2*a^8*b^4 + 32*B^2*a^9*b^3 + 24*B^2*a^10*b^2 + C^2*a^8*b^4 + 4*
C^2*a^10*b^2 - 48*A*B*a*b^11 - 24*A*B*a^11*b - 24*B*C*a^11*b + 48*A*B*a^2*b^10 + 192*A*B*a^3*b^9 - 192*A*B*a^4
*b^8 - 318*A*B*a^5*b^7 + 288*A*B*a^6*b^6 + 252*A*B*a^7*b^5 - 192*A*B*a^8*b^4 - 72*A*B*a^9*b^3 + 48*A*B*a^10*b^
2 + 12*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 - 36*A*C*a^8*b^4 + 48*A*C*a^10*b^2 - 4*B*C*a^5*b^7 + 2*B*C*a^7*b^5 + 8*B*C*
a^9*b^3))/(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*a^10*b^3 - 3*a^11*b^2))*1i)/a^4)/(((3
*A*b - B*a)*(((3*A*b - B*a)*((8*(4*B*a^18 + 4*C*a^18 + 12*A*a^8*b^10 - 6*A*a^9*b^9 - 54*A*a^10*b^8 + 24*A*a^11
*b^7 + 96*A*a^12*b^6 - 42*A*a^13*b^5 - 78*A*a^14*b^4 + 36*A*a^15*b^3 + 24*A*a^16*b^2 - 4*B*a^9*b^9 + 2*B*a^10*
b^8 + 18*B*a^11*b^7 - 4*B*a^12*b^6 - 36*B*a^13*b^5 + 6*B*a^14*b^4 + 34*B*a^15*b^3 - 8*B*a^16*b^2 - 2*C*a^11*b^
7 + 2*C*a^12*b^6 + 6*C*a^15*b^3 - 6*C*a^16*b^2 - 12*A*a^17*b - 12*B*a^17*b - 4*C*a^17*b))/(a^15*b + a^16 - a^9
*b^7 - a^10*b^6 + 3*a^11*b^5 + 3*a^12*b^4 - 3*a^13*b^3 - 3*a^14*b^2) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(3*A*b - B*a)*(8*
a^17*b - 8*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 + 32*a^10*b^8 - 32*a^11*b^7 - 48*a^12*b^6 + 48*a^13*b^5 + 32*a^14*b^4 - 32*a^1
5*b^3 - 8*a^16*b^2))/(a^4*(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*a^10*b^3 - 3*a^11*b^2
))))/a^4 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(72*A^2*b^12 + 4*B^2*a^12 + 4*C^2*a^12 - 72*A^2*a*b^11 - 8*B^2*a^11*b - 288*A
^2*a^2*b^10 + 288*A^2*a^3*b^9 + 441*A^2*a^4*b^8 - 432*A^2*a^5*b^7 - 288*A^2*a^6*b^6 + 288*A^2*a^7*b^5 + 36*A^2
*a^8*b^4 - 72*A^2*a^9*b^3 + 36*A^2*a^10*b^2 + 8*B^2*a^2*b^10 - 8*B^2*a^3*b^9 - 32*B^2*a^4*b^8 + 32*B^2*a^5*b^7
+ 57*B^2*a^6*b^6 - 48*B^2*a^7*b^5 - 52*B^2*a^8*b^4 + 32*B^2*a^9*b^3 + 24*B^2*a^10*b^2 + C^2*a^8*b^4 + 4*C^2*a
^10*b^2 - 48*A*B*a*b^11 - 24*A*B*a^11*b - 24*B*C*a^11*b + 48*A*B*a^2*b^10 + 192*A*B*a^3*b^9 - 192*A*B*a^4*b^8
- 318*A*B*a^5*b^7 + 288*A*B*a^6*b^6 + 252*A*B*a^7*b^5 - 192*A*B*a^8*b^4 - 72*A*B*a^9*b^3 + 48*A*B*a^10*b^2 + 1
2*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 - 36*A*C*a^8*b^4 + 48*A*C*a^10*b^2 - 4*B*C*a^5*b^7 + 2*B*C*a^7*b^5 + 8*B*C*a^9*b
^3))/(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*a^10*b^3 - 3*a^11*b^2)))/a^4 - (16*(108*A^
3*b^12 - 4*B*C^2*a^12 + 4*B^2*C*a^12 - 54*A^3*a*b^11 - 12*B^3*a^11*b - 486*A^3*a^2*b^10 + 243*A^3*a^3*b^9 + 86
4*A^3*a^4*b^8 - 378*A^3*a^5*b^7 - 702*A^3*a^6*b^6 + 216*A^3*a^7*b^5 + 216*A^3*a^8*b^4 - 4*B^3*a^3*b^9 + 2*B^3*
a^4*b^8 + 18*B^3*a^5*b^7 - 13*B^3*a^6*b^6 - 36*B^3*a^7*b^5 + 26*B^3*a^8*b^4 + 34*B^3*a^9*b^3 - 24*B^3*a^10*b^2
- 108*A^2*B*a*b^11 + 12*A*C^2*a^11*b + 20*B^2*C*a^11*b + 36*A*B^2*a^2*b^10 - 18*A*B^2*a^3*b^9 - 162*A*B^2*a^4
*b^8 + 105*A*B^2*a^5*b^7 + 312*A*B^2*a^6*b^6 - 198*A*B^2*a^7*b^5 - 282*A*B^2*a^8*b^4 + 156*A*B^2*a^9*b^3 + 96*
A*B^2*a^10*b^2 + 54*A^2*B*a^2*b^10 + 486*A^2*B*a^3*b^9 - 279*A^2*B*a^4*b^8 - 900*A^2*B*a^5*b^7 + 486*A^2*B*a^6
*b^6 + 774*A^2*B*a^7*b^5 - 324*A^2*B*a^8*b^4 - 252*A^2*B*a^9*b^3 + 3*A*C^2*a^7*b^5 + 12*A*C^2*a^9*b^3 + 18*A^2
*C*a^3*b^9 + 18*A^2*C*a^4*b^8 - 18*A^2*C*a^5*b^7 - 54*A^2*C*a^7*b^5 - 54*A^2*C*a^8*b^4 + 108*A^2*C*a^9*b^3 + 3
6*A^2*C*a^10*b^2 - B*C^2*a^8*b^4 - 4*B*C^2*a^10*b^2 + 2*B^2*C*a^5*b^7 + 2*B^2*C*a^6*b^6 - 2*B^2*C*a^7*b^5 - 2*
B^2*C*a^9*b^3 - 6*B^2*C*a^10*b^2 - 24*A*B*C*a^11*b - 12*A*B*C*a^4*b^8 - 12*A*B*C*a^5*b^7 + 12*A*B*C*a^6*b^6 +
24*A*B*C*a^8*b^4 + 36*A*B*C*a^9*b^3 - 96*A*B*C*a^10*b^2))/(a^15*b + a^16 - a^9*b^7 - a^10*b^6 + 3*a^11*b^5 + 3
*a^12*b^4 - 3*a^13*b^3 - 3*a^14*b^2) + ((3*A*b - B*a)*(((3*A*b - B*a)*((8*(4*B*a^18 + 4*C*a^18 + 12*A*a^8*b^10
- 6*A*a^9*b^9 - 54*A*a^10*b^8 + 24*A*a^11*b^7 + 96*A*a^12*b^6 - 42*A*a^13*b^5 - 78*A*a^14*b^4 + 36*A*a^15*b^3
+ 24*A*a^16*b^2 - 4*B*a^9*b^9 + 2*B*a^10*b^8 + 18*B*a^11*b^7 - 4*B*a^12*b^6 - 36*B*a^13*b^5 + 6*B*a^14*b^4 +
34*B*a^15*b^3 - 8*B*a^16*b^2 - 2*C*a^11*b^7 + 2*C*a^12*b^6 + 6*C*a^15*b^3 - 6*C*a^16*b^2 - 12*A*a^17*b - 12*B*
a^17*b - 4*C*a^17*b))/(a^15*b + a^16 - a^9*b^7 - a^10*b^6 + 3*a^11*b^5 + 3*a^12*b^4 - 3*a^13*b^3 - 3*a^14*b^2)
+ (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(3*A*b - B*a)*(8*a^17*b - 8*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 + 32*a^10*b^8 - 32*a^11*b^7 - 48*a^1
2*b^6 + 48*a^13*b^5 + 32*a^14*b^4 - 32*a^15*b^3 - 8*a^16*b^2))/(a^4*(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8
*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*a^10*b^3 - 3*a^11*b^2))))/a^4 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(72*A^2*b^12 + 4*B^2*a^12 + 4*C^2*a
^12 - 72*A^2*a*b^11 - 8*B^2*a^11*b - 288*A^2*a^2*b^10 + 288*A^2*a^3*b^9 + 441*A^2*a^4*b^8 - 432*A^2*a^5*b^7 -
288*A^2*a^6*b^6 + 288*A^2*a^7*b^5 + 36*A^2*a^8*b^4 - 72*A^2*a^9*b^3 + 36*A^2*a^10*b^2 + 8*B^2*a^2*b^10 - 8*B^2
*a^3*b^9 - 32*B^2*a^4*b^8 + 32*B^2*a^5*b^7 + 57*B^2*a^6*b^6 - 48*B^2*a^7*b^5 - 52*B^2*a^8*b^4 + 32*B^2*a^9*b^3
+ 24*B^2*a^10*b^2 + C^2*a^8*b^4 + 4*C^2*a^10*b^2 - 48*A*B*a*b^11 - 24*A*B*a^11*b - 24*B*C*a^11*b + 48*A*B*a^2
*b^10 + 192*A*B*a^3*b^9 - 192*A*B*a^4*b^8 - 318*A*B*a^5*b^7 + 288*A*B*a^6*b^6 + 252*A*B*a^7*b^5 - 192*A*B*a^8*
b^4 - 72*A*B*a^9*b^3 + 48*A*B*a^10*b^2 + 12*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 - 36*A*C*a^8*b^4 + 48*A*C*a^10*b^2 - 4
*B*C*a^5*b^7 + 2*B*C*a^7*b^5 + 8*B*C*a^9*b^3))/(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*
a^10*b^3 - 3*a^11*b^2)))/a^4))*(3*A*b - B*a)*2i)/(a^4*d) - ((tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(2*A*a^5 - 6*A*b^5 + 12*A*a^
2*b^3 - 4*A*a^3*b^2 - B*a^2*b^3 - 6*B*a^3*b^2 + C*a^3*b^2 + 3*A*a*b^4 - 2*A*a^4*b + 2*B*a*b^4 + 4*C*a^4*b))/((
a^3*b - a^4)*(a + b)^2) - (tan(c/2 + (d*x)/2)*(2*A*a^5 + 6*A*b^5 - 12*A*a^2*b^3 - 4*A*a^3*b^2 - B*a^2*b^3 + 6*
B*a^3*b^2 + C*a^3*b^2 + 3*A*a*b^4 + 2*A*a^4*b - 2*B*a*b^4 - 4*C*a^4*b))/((a + b)*(a^5 - 2*a^4*b + a^3*b^2)) +
(2*tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(2*A*a^6 - 6*A*b^6 + 13*A*a^2*b^4 - 6*A*a^4*b^2 - 5*B*a^3*b^3 + 3*C*a^4*b^2 + 2*B*a*b^
5))/(a*(a^2*b - a^3)*(a + b)^2*(a - b)))/(d*(2*a*b - tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(2*a*b - a^2 + 3*b^2) - tan(c/2 + (d
*x)/2)^6*(a^2 - 2*a*b + b^2) + a^2 + b^2 - tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(2*a*b + a^2 - 3*b^2))) + (atan((((-(a + b)^5*
(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(72*A^2*b^12 + 4*B^2*a^12 + 4*C^2*a^12 - 72*A^2*a*b^11 - 8*B^2*a^11*b
- 288*A^2*a^2*b^10 + 288*A^2*a^3*b^9 + 441*A^2*a^4*b^8 - 432*A^2*a^5*b^7 - 288*A^2*a^6*b^6 + 288*A^2*a^7*b^5 +
36*A^2*a^8*b^4 - 72*A^2*a^9*b^3 + 36*A^2*a^10*b^2 + 8*B^2*a^2*b^10 - 8*B^2*a^3*b^9 - 32*B^2*a^4*b^8 + 32*B^2*
a^5*b^7 + 57*B^2*a^6*b^6 - 48*B^2*a^7*b^5 - 52*B^2*a^8*b^4 + 32*B^2*a^9*b^3 + 24*B^2*a^10*b^2 + C^2*a^8*b^4 +
4*C^2*a^10*b^2 - 48*A*B*a*b^11 - 24*A*B*a^11*b - 24*B*C*a^11*b + 48*A*B*a^2*b^10 + 192*A*B*a^3*b^9 - 192*A*B*a
^4*b^8 - 318*A*B*a^5*b^7 + 288*A*B*a^6*b^6 + 252*A*B*a^7*b^5 - 192*A*B*a^8*b^4 - 72*A*B*a^9*b^3 + 48*A*B*a^10*
b^2 + 12*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 - 36*A*C*a^8*b^4 + 48*A*C*a^10*b^2 - 4*B*C*a^5*b^7 + 2*B*C*a^7*b^5 + 8*B*
C*a^9*b^3))/(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*a^10*b^3 - 3*a^11*b^2) - ((-(a + b)
^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*(4*B*a^18 + 4*C*a^18 + 12*A*a^8*b^10 - 6*A*a^9*b^9 - 54*A*a^10*b^8 + 24*A*a^11*b^7 + 9
6*A*a^12*b^6 - 42*A*a^13*b^5 - 78*A*a^14*b^4 + 36*A*a^15*b^3 + 24*A*a^16*b^2 - 4*B*a^9*b^9 + 2*B*a^10*b^8 + 18
*B*a^11*b^7 - 4*B*a^12*b^6 - 36*B*a^13*b^5 + 6*B*a^14*b^4 + 34*B*a^15*b^3 - 8*B*a^16*b^2 - 2*C*a^11*b^7 + 2*C*
a^12*b^6 + 6*C*a^15*b^3 - 6*C*a^16*b^2 - 12*A*a^17*b - 12*B*a^17*b - 4*C*a^17*b))/(a^15*b + a^16 - a^9*b^7 - a
^10*b^6 + 3*a^11*b^5 + 3*a^12*b^4 - 3*a^13*b^3 - 3*a^14*b^2) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1
/2)*(6*A*b^6 + 2*C*a^6 - 15*A*a^2*b^4 + 12*A*a^4*b^2 + 5*B*a^3*b^3 + C*a^4*b^2 - 2*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*(8*a^1
7*b - 8*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 + 32*a^10*b^8 - 32*a^11*b^7 - 48*a^12*b^6 + 48*a^13*b^5 + 32*a^14*b^4 - 32*a^15*b
^3 - 8*a^16*b^2))/((a^14 - a^4*b^10 + 5*a^6*b^8 - 10*a^8*b^6 + 10*a^10*b^4 - 5*a^12*b^2)*(a^12*b + a^13 - a^6*
b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*a^10*b^3 - 3*a^11*b^2)))*(6*A*b^6 + 2*C*a^6 - 15*A*a^2*b^4 + 12*A*a^
4*b^2 + 5*B*a^3*b^3 + C*a^4*b^2 - 2*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(a^14 - a^4*b^10 + 5*a^6*b^8 - 10*a^8*b^6 + 10*a^
10*b^4 - 5*a^12*b^2)))*(6*A*b^6 + 2*C*a^6 - 15*A*a^2*b^4 + 12*A*a^4*b^2 + 5*B*a^3*b^3 + C*a^4*b^2 - 2*B*a*b^5
- 6*B*a^5*b)*1i)/(2*(a^14 - a^4*b^10 + 5*a^6*b^8 - 10*a^8*b^6 + 10*a^10*b^4 - 5*a^12*b^2)) + ((-(a + b)^5*(a -
b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(72*A^2*b^12 + 4*B^2*a^12 + 4*C^2*a^12 - 72*A^2*a*b^11 - 8*B^2*a^11*b - 28
8*A^2*a^2*b^10 + 288*A^2*a^3*b^9 + 441*A^2*a^4*b^8 - 432*A^2*a^5*b^7 - 288*A^2*a^6*b^6 + 288*A^2*a^7*b^5 + 36*
A^2*a^8*b^4 - 72*A^2*a^9*b^3 + 36*A^2*a^10*b^2 + 8*B^2*a^2*b^10 - 8*B^2*a^3*b^9 - 32*B^2*a^4*b^8 + 32*B^2*a^5*
b^7 + 57*B^2*a^6*b^6 - 48*B^2*a^7*b^5 - 52*B^2*a^8*b^4 + 32*B^2*a^9*b^3 + 24*B^2*a^10*b^2 + C^2*a^8*b^4 + 4*C^
2*a^10*b^2 - 48*A*B*a*b^11 - 24*A*B*a^11*b - 24*B*C*a^11*b + 48*A*B*a^2*b^10 + 192*A*B*a^3*b^9 - 192*A*B*a^4*b
^8 - 318*A*B*a^5*b^7 + 288*A*B*a^6*b^6 + 252*A*B*a^7*b^5 - 192*A*B*a^8*b^4 - 72*A*B*a^9*b^3 + 48*A*B*a^10*b^2
+ 12*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 - 36*A*C*a^8*b^4 + 48*A*C*a^10*b^2 - 4*B*C*a^5*b^7 + 2*B*C*a^7*b^5 + 8*B*C*a^
9*b^3))/(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*a^10*b^3 - 3*a^11*b^2) + ((-(a + b)^5*(
a - b)^5)^(1/2)*((8*(4*B*a^18 + 4*C*a^18 + 12*A*a^8*b^10 - 6*A*a^9*b^9 - 54*A*a^10*b^8 + 24*A*a^11*b^7 + 96*A*
a^12*b^6 - 42*A*a^13*b^5 - 78*A*a^14*b^4 + 36*A*a^15*b^3 + 24*A*a^16*b^2 - 4*B*a^9*b^9 + 2*B*a^10*b^8 + 18*B*a
^11*b^7 - 4*B*a^12*b^6 - 36*B*a^13*b^5 + 6*B*a^14*b^4 + 34*B*a^15*b^3 - 8*B*a^16*b^2 - 2*C*a^11*b^7 + 2*C*a^12
*b^6 + 6*C*a^15*b^3 - 6*C*a^16*b^2 - 12*A*a^17*b - 12*B*a^17*b - 4*C*a^17*b))/(a^15*b + a^16 - a^9*b^7 - a^10*
b^6 + 3*a^11*b^5 + 3*a^12*b^4 - 3*a^13*b^3 - 3*a^14*b^2) + (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*
(6*A*b^6 + 2*C*a^6 - 15*A*a^2*b^4 + 12*A*a^4*b^2 + 5*B*a^3*b^3 + C*a^4*b^2 - 2*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*(8*a^17*b
- 8*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 + 32*a^10*b^8 - 32*a^11*b^7 - 48*a^12*b^6 + 48*a^13*b^5 + 32*a^14*b^4 - 32*a^15*b^3 -
8*a^16*b^2))/((a^14 - a^4*b^10 + 5*a^6*b^8 - 10*a^8*b^6 + 10*a^10*b^4 - 5*a^12*b^2)*(a^12*b + a^13 - a^6*b^7
- a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*a^10*b^3 - 3*a^11*b^2)))*(6*A*b^6 + 2*C*a^6 - 15*A*a^2*b^4 + 12*A*a^4*b^
2 + 5*B*a^3*b^3 + C*a^4*b^2 - 2*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(a^14 - a^4*b^10 + 5*a^6*b^8 - 10*a^8*b^6 + 10*a^10*b
^4 - 5*a^12*b^2)))*(6*A*b^6 + 2*C*a^6 - 15*A*a^2*b^4 + 12*A*a^4*b^2 + 5*B*a^3*b^3 + C*a^4*b^2 - 2*B*a*b^5 - 6*
B*a^5*b)*1i)/(2*(a^14 - a^4*b^10 + 5*a^6*b^8 - 10*a^8*b^6 + 10*a^10*b^4 - 5*a^12*b^2)))/((16*(108*A^3*b^12 - 4
*B*C^2*a^12 + 4*B^2*C*a^12 - 54*A^3*a*b^11 - 12*B^3*a^11*b - 486*A^3*a^2*b^10 + 243*A^3*a^3*b^9 + 864*A^3*a^4*
b^8 - 378*A^3*a^5*b^7 - 702*A^3*a^6*b^6 + 216*A^3*a^7*b^5 + 216*A^3*a^8*b^4 - 4*B^3*a^3*b^9 + 2*B^3*a^4*b^8 +
18*B^3*a^5*b^7 - 13*B^3*a^6*b^6 - 36*B^3*a^7*b^5 + 26*B^3*a^8*b^4 + 34*B^3*a^9*b^3 - 24*B^3*a^10*b^2 - 108*A^2
*B*a*b^11 + 12*A*C^2*a^11*b + 20*B^2*C*a^11*b + 36*A*B^2*a^2*b^10 - 18*A*B^2*a^3*b^9 - 162*A*B^2*a^4*b^8 + 105
*A*B^2*a^5*b^7 + 312*A*B^2*a^6*b^6 - 198*A*B^2*a^7*b^5 - 282*A*B^2*a^8*b^4 + 156*A*B^2*a^9*b^3 + 96*A*B^2*a^10
*b^2 + 54*A^2*B*a^2*b^10 + 486*A^2*B*a^3*b^9 - 279*A^2*B*a^4*b^8 - 900*A^2*B*a^5*b^7 + 486*A^2*B*a^6*b^6 + 774
*A^2*B*a^7*b^5 - 324*A^2*B*a^8*b^4 - 252*A^2*B*a^9*b^3 + 3*A*C^2*a^7*b^5 + 12*A*C^2*a^9*b^3 + 18*A^2*C*a^3*b^9
+ 18*A^2*C*a^4*b^8 - 18*A^2*C*a^5*b^7 - 54*A^2*C*a^7*b^5 - 54*A^2*C*a^8*b^4 + 108*A^2*C*a^9*b^3 + 36*A^2*C*a^
10*b^2 - B*C^2*a^8*b^4 - 4*B*C^2*a^10*b^2 + 2*B^2*C*a^5*b^7 + 2*B^2*C*a^6*b^6 - 2*B^2*C*a^7*b^5 - 2*B^2*C*a^9*
b^3 - 6*B^2*C*a^10*b^2 - 24*A*B*C*a^11*b - 12*A*B*C*a^4*b^8 - 12*A*B*C*a^5*b^7 + 12*A*B*C*a^6*b^6 + 24*A*B*C*a
^8*b^4 + 36*A*B*C*a^9*b^3 - 96*A*B*C*a^10*b^2))/(a^15*b + a^16 - a^9*b^7 - a^10*b^6 + 3*a^11*b^5 + 3*a^12*b^4
- 3*a^13*b^3 - 3*a^14*b^2) + ((-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(72*A^2*b^12 + 4*B^2*a^12 +
4*C^2*a^12 - 72*A^2*a*b^11 - 8*B^2*a^11*b - 288*A^2*a^2*b^10 + 288*A^2*a^3*b^9 + 441*A^2*a^4*b^8 - 432*A^2*a^5
*b^7 - 288*A^2*a^6*b^6 + 288*A^2*a^7*b^5 + 36*A^2*a^8*b^4 - 72*A^2*a^9*b^3 + 36*A^2*a^10*b^2 + 8*B^2*a^2*b^10
- 8*B^2*a^3*b^9 - 32*B^2*a^4*b^8 + 32*B^2*a^5*b^7 + 57*B^2*a^6*b^6 - 48*B^2*a^7*b^5 - 52*B^2*a^8*b^4 + 32*B^2*
a^9*b^3 + 24*B^2*a^10*b^2 + C^2*a^8*b^4 + 4*C^2*a^10*b^2 - 48*A*B*a*b^11 - 24*A*B*a^11*b - 24*B*C*a^11*b + 48*
A*B*a^2*b^10 + 192*A*B*a^3*b^9 - 192*A*B*a^4*b^8 - 318*A*B*a^5*b^7 + 288*A*B*a^6*b^6 + 252*A*B*a^7*b^5 - 192*A
*B*a^8*b^4 - 72*A*B*a^9*b^3 + 48*A*B*a^10*b^2 + 12*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 - 36*A*C*a^8*b^4 + 48*A*C*a^10*
b^2 - 4*B*C*a^5*b^7 + 2*B*C*a^7*b^5 + 8*B*C*a^9*b^3))/(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b
^4 - 3*a^10*b^3 - 3*a^11*b^2) - ((-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*(4*B*a^18 + 4*C*a^18 + 12*A*a^8*b^10 - 6*A*a
^9*b^9 - 54*A*a^10*b^8 + 24*A*a^11*b^7 + 96*A*a^12*b^6 - 42*A*a^13*b^5 - 78*A*a^14*b^4 + 36*A*a^15*b^3 + 24*A*
a^16*b^2 - 4*B*a^9*b^9 + 2*B*a^10*b^8 + 18*B*a^11*b^7 - 4*B*a^12*b^6 - 36*B*a^13*b^5 + 6*B*a^14*b^4 + 34*B*a^1
5*b^3 - 8*B*a^16*b^2 - 2*C*a^11*b^7 + 2*C*a^12*b^6 + 6*C*a^15*b^3 - 6*C*a^16*b^2 - 12*A*a^17*b - 12*B*a^17*b -
4*C*a^17*b))/(a^15*b + a^16 - a^9*b^7 - a^10*b^6 + 3*a^11*b^5 + 3*a^12*b^4 - 3*a^13*b^3 - 3*a^14*b^2) - (4*ta
n(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 2*C*a^6 - 15*A*a^2*b^4 + 12*A*a^4*b^2 + 5*B*a^3*b^3 +
C*a^4*b^2 - 2*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*(8*a^17*b - 8*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 + 32*a^10*b^8 - 32*a^11*b^7 - 48*a^12*b
^6 + 48*a^13*b^5 + 32*a^14*b^4 - 32*a^15*b^3 - 8*a^16*b^2))/((a^14 - a^4*b^10 + 5*a^6*b^8 - 10*a^8*b^6 + 10*a^
10*b^4 - 5*a^12*b^2)*(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*a^10*b^3 - 3*a^11*b^2)))*(
6*A*b^6 + 2*C*a^6 - 15*A*a^2*b^4 + 12*A*a^4*b^2 + 5*B*a^3*b^3 + C*a^4*b^2 - 2*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(a^14 -
a^4*b^10 + 5*a^6*b^8 - 10*a^8*b^6 + 10*a^10*b^4 - 5*a^12*b^2)))*(6*A*b^6 + 2*C*a^6 - 15*A*a^2*b^4 + 12*A*a^4*
b^2 + 5*B*a^3*b^3 + C*a^4*b^2 - 2*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(a^14 - a^4*b^10 + 5*a^6*b^8 - 10*a^8*b^6 + 10*a^10
*b^4 - 5*a^12*b^2)) - ((-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(72*A^2*b^12 + 4*B^2*a^12 + 4*C^2*a
^12 - 72*A^2*a*b^11 - 8*B^2*a^11*b - 288*A^2*a^2*b^10 + 288*A^2*a^3*b^9 + 441*A^2*a^4*b^8 - 432*A^2*a^5*b^7 -
288*A^2*a^6*b^6 + 288*A^2*a^7*b^5 + 36*A^2*a^8*b^4 - 72*A^2*a^9*b^3 + 36*A^2*a^10*b^2 + 8*B^2*a^2*b^10 - 8*B^2
*a^3*b^9 - 32*B^2*a^4*b^8 + 32*B^2*a^5*b^7 + 57*B^2*a^6*b^6 - 48*B^2*a^7*b^5 - 52*B^2*a^8*b^4 + 32*B^2*a^9*b^3
+ 24*B^2*a^10*b^2 + C^2*a^8*b^4 + 4*C^2*a^10*b^2 - 48*A*B*a*b^11 - 24*A*B*a^11*b - 24*B*C*a^11*b + 48*A*B*a^2
*b^10 + 192*A*B*a^3*b^9 - 192*A*B*a^4*b^8 - 318*A*B*a^5*b^7 + 288*A*B*a^6*b^6 + 252*A*B*a^7*b^5 - 192*A*B*a^8*
b^4 - 72*A*B*a^9*b^3 + 48*A*B*a^10*b^2 + 12*A*C*a^4*b^8 - 6*A*C*a^6*b^6 - 36*A*C*a^8*b^4 + 48*A*C*a^10*b^2 - 4
*B*C*a^5*b^7 + 2*B*C*a^7*b^5 + 8*B*C*a^9*b^3))/(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*
a^10*b^3 - 3*a^11*b^2) + ((-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*(4*B*a^18 + 4*C*a^18 + 12*A*a^8*b^10 - 6*A*a^9*b^9
- 54*A*a^10*b^8 + 24*A*a^11*b^7 + 96*A*a^12*b^6 - 42*A*a^13*b^5 - 78*A*a^14*b^4 + 36*A*a^15*b^3 + 24*A*a^16*b^
2 - 4*B*a^9*b^9 + 2*B*a^10*b^8 + 18*B*a^11*b^7 - 4*B*a^12*b^6 - 36*B*a^13*b^5 + 6*B*a^14*b^4 + 34*B*a^15*b^3 -
8*B*a^16*b^2 - 2*C*a^11*b^7 + 2*C*a^12*b^6 + 6*C*a^15*b^3 - 6*C*a^16*b^2 - 12*A*a^17*b - 12*B*a^17*b - 4*C*a^
17*b))/(a^15*b + a^16 - a^9*b^7 - a^10*b^6 + 3*a^11*b^5 + 3*a^12*b^4 - 3*a^13*b^3 - 3*a^14*b^2) + (4*tan(c/2 +
(d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 2*C*a^6 - 15*A*a^2*b^4 + 12*A*a^4*b^2 + 5*B*a^3*b^3 + C*a^4*
b^2 - 2*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*(8*a^17*b - 8*a^8*b^10 + 8*a^9*b^9 + 32*a^10*b^8 - 32*a^11*b^7 - 48*a^12*b^6 + 48
*a^13*b^5 + 32*a^14*b^4 - 32*a^15*b^3 - 8*a^16*b^2))/((a^14 - a^4*b^10 + 5*a^6*b^8 - 10*a^8*b^6 + 10*a^10*b^4
- 5*a^12*b^2)*(a^12*b + a^13 - a^6*b^7 - a^7*b^6 + 3*a^8*b^5 + 3*a^9*b^4 - 3*a^10*b^3 - 3*a^11*b^2)))*(6*A*b^6
+ 2*C*a^6 - 15*A*a^2*b^4 + 12*A*a^4*b^2 + 5*B*a^3*b^3 + C*a^4*b^2 - 2*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(a^14 - a^4*b^
10 + 5*a^6*b^8 - 10*a^8*b^6 + 10*a^10*b^4 - 5*a^12*b^2)))*(6*A*b^6 + 2*C*a^6 - 15*A*a^2*b^4 + 12*A*a^4*b^2 + 5
*B*a^3*b^3 + C*a^4*b^2 - 2*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b))/(2*(a^14 - a^4*b^10 + 5*a^6*b^8 - 10*a^8*b^6 + 10*a^10*b^4 -
5*a^12*b^2))))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(6*A*b^6 + 2*C*a^6 - 15*A*a^2*b^4 + 12*A*a^4*b^2 + 5*B*a^3*b^3 + C
*a^4*b^2 - 2*B*a*b^5 - 6*B*a^5*b)*1i)/(d*(a^14 - a^4*b^10 + 5*a^6*b^8 - 10*a^8*b^6 + 10*a^10*b^4 - 5*a^12*b^2)
)